[알고리즘 개념] 기타 그래프 이론
1. 서로소 집합 자료구조란?
- 서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
- 서로소 집합 자료구조는 합집합과 찾기 연산을 지원한다.
- 합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우 find함수가 비효율적으로 동작합니다.
○ 서로소 집합 자료구조
import sys
input = sys.stdin.readline
# 노드의 개수와 간선(Union)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1,v+1):
print(find_parent(parent, i), end='')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1,v+1):
print(parent[i], end='')
- 경로 압축을 이용하여 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신하여 찾기 함수를 최적화 한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
1-2. 사이클 판별 알고리즘이란?
① 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
⒜ 루트 노드가 서로 다르다면 도 노드에 대하여 합집합 연산을 수행한다.
⒝ 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생항 것이다.
③ 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
- 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
- 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
v,e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초가화
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent,x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
a = find_parent(parent,a)
b = find_parent(parent,a)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
for i in range(e):
a,b = map(int,input().split())
# 사이클 발생시 종료
if find_parent(parent,a) == find_parent(parent,b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 union 연산 수행
else:
union_parent(parent,a,b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
2. 신장 트리란?
- 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
- 트리의 조건과 같다
- 간선의 개수는 전체 노드의 개수-1이다.
2-2. 크루스칼 알고리즘
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
① 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
② 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
⒜ 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
⒝ 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
③ 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
- 간선의 개수가 E개일때 O의 시간복잡도를 가진다.
- 시간 복잡도는 O(V+E) 이다.
import sys
input = sys.stdin.readline
v,e = map(int,input().split())
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초가화
for i in range(e):
a, b, cost = map(int,input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번때 윈소를 비용으로 설정
edges.append(cost,a,b)
edges.sort()
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent,x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
a = find_parent(parent,a)
b = find_parent(parent,a)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a,b = edge
# 사이클 발생하지 않는 경우에만 집합에 표현
if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b):
union_parent(parent,a,b)
result += cost
print(result)
3. 위상 정렬 알고리즘
- 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정 : 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘
진입 차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
진출 차수(Outdegree) : 특정한 노드로 나가는 간선의 개수
- 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
① 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
② 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
⒜ 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
⒝ 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
import sys
from collections import deque
# 노드와 간선의 개수를 입력 받는다.
input = sys.stdin.readline
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
v,e = map(int,input().split())
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기롸
indegree = [0] * (v+1)
graph = [[] for _ in range(v+1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for i in range(e):
a,b = map(int,input())
graph[a].append(b)# 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 하무
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1,v+1):
if indegree[0] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소의 연결된 노드들의 진입차수에서 1빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[0] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()